dimecres, 3 de novembre de 2010

Calcular PI tirant pedres en un quadrat

Segurament aquest títol és difícil d'entendre, però el problema és tant senzill com preguntar-se si seríem capaços de trobar el nombre PI tirant només pedres. El procediment és el següent:

D'alguna manera dibuixem un quadrat al terra i també hi tracem un cercle inscrit.

Després comencem a tirar pedres. Les tirem aleatòriament, de manera que cada pedra pot caure a tant a fora com a dins del quadrat.

Quan ja haguem tirat N pedres, podem contar les que han caigut a dins del cercle NC i les que ho han fet a dins del quadrat NQ. La relació entre aquests dos nombres ha de ser equivalent a la relació de les àrees del cercle i del quadrat. És a dir, com més gran sigui una àrea, més pedres podrà contenir.

En altres paraules, es complirà la relació NC/NQ=AreaCercle/AreaQuadrat. Substituint el valor de les àrees obtenim: NC/NQ=PI*(R^2)/((2R)^2)=PI/4. És a dir: PI=4*NC/NQ.

Per tant, fent el quocient entre les pedres que han caigut a dins del cercle i les de dins del quadrat, i multiplicant-ho per 4 hem d'obtenir el nombre PI.

És evident que les pedres es tiren aleatòriament i que tirant 10 o 20 pedres estarem molt lluny del nombre que estem buscant. De totes maneres, tirant milions i milions de pedres s'ha d'obtenir un valor molt similar a PI. De fet, l'únic que fa falta tenir el temps de tirar tantes pedres.

dilluns, 1 de novembre de 2010

Pot comú al pis

Fa uns anys, en Vila, en Joan i en Camp van llogar un pis per anar-hi a passar el curs. Per fer front a les despeses comunes, van decidir tenir un pot on cadascú hi va posar 50€.

Una setmana més tard, en Vila i en Camp van anar a un supermercat per comprar menjar. El cost total del menjar va ser de 90€. Quan van arribar al pis, en Joan va dir que no li agradava el que havien comprat i que no contessin amb ell per aquest menjar. En Vila i en Camp van dir que no hi havia cap problema i que passarien els compes corresponents.

En fer els comptes, en Vila va dir que, òbviament, ells havien de pagar 30€ perquè el que havien comprat no era d’en Joan. Encara que a en Camp no li acabava de convèncer la decisió, cadascú va posar 15€ al pot comú.

Durant la nit, en Camp va estar pensant amb la decisió que havien pres i va pensar que havia de parlar amb els seus companys de pis al matí següent. Quan es van llevar, en Camp va dir:

-Tenim 90€ al pot comú. És a dir, 150€ inicials, menys 90€ que vam gastar, més els 30€ que vam afegir-hi jo i en Vila després de la compra.

Llavors, en Joan va exclamar:

-Jo he pagat 50€, no he comprat res, i ara rebo només 30€!

Què ha passat?

..................................................

..................................................

..................................................

..................................................

..................................................

..................................................

La solució d’aquest problema pot ser pensada de dues maneres diferents:

A) En Vila i en Camp havien de pagar 30 €. Però aquesta quantitat l’havien de pagar directament a en Joan i no al pot comú. El fet de posar-ho al pot comú fa que realment no paguin 30€ ja que ells també reben aquesta quantitat.

Si ho paguen a en Joan, llavors hi haurà 60€ al pot comú. Després, al dividir-lo, rebran 20€ cadascú. Per tant, en Joan tindrà els 30€ que li han pagat directament més els 20€ del pot comú. Cosa que és correcte.

B) Si en Vila i en Camp volen retornar als diners al pot, han de pagar tots els 90€. És a dir, 45€ cadascú.

Fent-ho d’aquesta manera, restauren els 150€ inicials al pot comú i, si el divideixen, tots recuperen 50€.