dilluns, 28 de març de 2011

2 - Una formiga amenaçada

El diari El Pais fa un concurs i espera respostes a diferents problemes.

Feu click aquí per veure el problema d'aquesta setmana.

I aquesta és la nostra solució:

Solución del problema:


La hormiga morirá con probabilidad 1 porqué con un tiempo infinito la hormiga llegará al vértice 7 u 8.

Tiene probabilidad 0.42857 de morir en el 7 y probabilidad 0.57142 de morir en el 8.

Explicación del problema:

Formulamos un sistema de ecuaciones. P(i,j) es la probabilidad que muera en i si la hormiga está en j dónde i=7,8 y j=1,...,6.

P(8,1)=2/3P(8,4)+1/3P(8,2)

P(8,2)=1/3P(8,1)+2/3P(8,3)

P(8,3)=1/3P(8,4)+1/3P(8,2)

P(8,4)=1/3+1/3P(8,3)+1/3P(8,1)

La solución de este sistema es:


P(8,1)=0.57142

P(8,2)=0.42857

P(8,3)=0.35714

P(8,4)=0.64285

Nuestra pregunta era P(8,1) y P(7,1). Por simetría podemos decir que P(7,1)=P(8,2)

Finalmente podemos observar que P(8,1)+P(7,1)=1. Esto era lo que esperábamos dado que la probabilidad que muera en 7 u 8 es total.