9 - Una enorme potència de 2

L'enunciat del novè problema el podeu veure aquí:

http://www.elpais.com/videos/sociedad/enorme/potencia/elpepusoc/20110512elpepusoc_2/Ves/


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I la solució que vam enviar és la següent.

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Las dos últimas cifras del número buscado son 52.

Explicación
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Si analizamos las dos últimas cifras de la sucesión de potencias de 2, vemos que se repiten cada 20 dígitos (con una sola excepción, al principio tenemos 2^1 = 2, con lo que las últimas dos cifras son 02, mientras que en los números 2^21, 2^41, etc las dos últimas cifras son 52).

Exponente Dos últimas cifras
1 2
2 4
3 8
4 16
5 32
6 64
7 28
8 56
9 12
10 24
11 48
12 96
13 92
14 84
15 68
16 36
17 72
18 44
19 88
20 76
21 52
22 4
23 8
24 16
25 32
26 64
27 28
28 56
...


Por tanto, las dos últimas cifras del número buscado 2^528*****7301 son las mismas que las del número 2^7301, que son las mismas que las del número 2^21, es decir, 52.

8 - Un cub de suma zero

L'enunciat del vuitè problema del concurs d'El País el podeu veure aquí:

http://www.elpais.com/articulo/sociedad/cubo/suma/cero/existe/elpepusoc/20110511elpepusoc_14/Tes

i la resposta que vam enviar la teniu a continuació.


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No se puede construir el cubo pedido.

Lo vemos con una observación inicial y razonando a partir de ella.

Observación
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Al cambiar el valor de un vértice de 1 a -1 o viceversa, la diferencia entre la cantidad de vértices y caras con valor 1 antes y después es siempre par: -4, -2, 0, 2 o 4.

Es sencillo ver esto. El cambio de un vértice afecta al vértice en cuestión y a tres caras del cubo, las adyacenetes al vértice. Todos los casos posibles son los siguientes:

- Si las tres caras y el vértice tenían valor -1, al cambiar el vértice la diferencia aumenta en 4 unidades.
- Si las tres caras tenían valor -1 y el vértice 1, al cambiar el vértice la diferencia aumenta en 2 unidades.
- Si dos caras tenían valor -1 y el vértice también, al cambiar el vértice la diferencia aumenta en 2 unidades.
- Si dos caras tenían valor -1 y el vértice 1, al cambiar el vértice la diferencia se mantiene igual.
- Si dos caras tenían valor 1 y el vértice -1, al cambiar el vértice la diferencia se mantiene igual.
- Si dos caras tenían valor 1 y el vértice 1, al cambiar el vértice la diferencia disminuye en 2 unidades.
- Si las tres caras tenían valor 1 y el vértice -1, al cambiar el vértice la diferencia dismunuye en 2 unidades.
- Si las tres caras y el vértice tenían valor 1, al cambiar de signo el vértice la diferencia disminuye en 4 unidades.


Visto esto, vemos también que

1. Dada una asignación de 1's y -1's a los vértices, la suma es única.
2. Partiendo de la posición con 1's en todos los vértices, y por tanto suma 8 + 6 = 14, podemos obtener cualquier asignación posible cambiando 1's por -1's.
3. Cualquier asignación válida será de estas, ya que si no realizando cambios hasta llegar a la configuración con 1's en todos los vértices llegaríamos a una contradicción.
4. Por tanto, por la observación inicial, toda asignación válida tiene un número par de elementos con valor 1.

La posición que se pide, en que la suma total es 0, corresponde a que 7 elementos entre caras y vértices tomen por valor 1.
Pero esto no puede ser ya que todas las posiciones válidas tienen un número par de elementos con valor 1.

Por tanto, no se puede construir el cubo pedido.

7 - Un piano musical

El setè problema de la saga anava sobre les tecles d'un piano musical:

http://www.elpais.com/articulo/sociedad/Solucion/problema/piano/sorpresa/musical/elpepusoc/20110503elpepusoc_7/Tes

Us recomanem visitar aquesta pàgina, on el problema i les solucions proposades estan molt ben explicades.

La solució que vam enviar és la següent:




1) Se habrán pulsado 2000 Do's.
2) Las notas Mi, Sol y La no se pulsan nunca.


Explicación
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En todo el proceso sólo se tocan cuatro notas diferentes:

- Do
- Re
- Fa
- Si

Si identificamos a:

- Do como el conjunto de números congruentes con 1 módulo 7
- Re como el conjunto de números congruentes con 2 módulo 7
- Fa como el conjunto de números congruentes con 4 módulo 7
- Si como el conjunto de números congruentes con 0 módulo 7

Vemos que sólo se tocan estas notas ya que el procedimiento que se aplica tiene un ciclo que se va repitiendo. Este ciclo de notas que se pulsan es el siguiente (denotamos con = el signo de congruencia módulo siete):

- 1
- 1 + 1 = 2
- 2 + 2 = 4
- 4 + 3 = 7 = 0
- 0 + 4 = 4
- 4 + 5 = 9 = 2
- 2 + 6 = 8 = 1
- 1 + 7 = 1 + 0 = 1
- 1 + 8 = 1 + 1 = 2
- 2 + 9 = 2 + 2 = 4
...


Vemos que la secuencia que se va repitiendo es:

1240421124042112404211...,

que corresponde a las notas

Do Re Fa Si Fa Re Do Do Re Fa Si Fa Re Do Do...

También vemos que de cada 7 teclas pulsadas dos son Do's. Por tanto, si se pulsan 7000 teclas se habrán pulsado 2000 Do's.

En resumen:

1) Si se pulsan 7000 teclas se habrán pulsado 2000 Do's.
2) Las notas Mi, Sol y La no se pulsan nunca.