diumenge, 3 de juliol de 2011

15 - Una qüestió d'uns i zeros

El quinzè problema del concurs era el següent:

http://www.elpais.com/videos/sociedad/cuestion/ceros/elpepusoc/20110623elpepusoc_1/Ves/

Personalment, crec que és el millor que ha sortit fins ara. Malauradament, no vam trobar la solució. Us deixem la solució oficial, on podreu apreciar la bellesa d'una demostració ben senzilla.

http://www.elpais.com/articulo/sociedad/ceros/palomas/elpepusoc/20110628elpepusoc_13/Tes

14 - Partícules en col·lisió

El catorzè problema de El País era el següent:

http://www.elpais.com/videos/sociedad/Particulas/colision/elpepusoc/20110616elpepusoc_1/Ves/



La solució publicada a la web és la següent:

http://www.elpais.com/articulo/sociedad/habra/unica/clase/particulas/elpepusoc/20110621elpepusoc_9/Tes



I la solució que vam aportar nosaltres és aquesta:



No se puede diseñar ninguna secuencia de choques tal que todas las partículas terminen en el mismo estado.

Expliación:
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Analizamos un paso de la secuencia de choques.
Supongamos que tenemos un estado (a,b,c) con a partículas en estado positivo, b partículas en estado negativo y c partículas en estado neutro.
A partir de este estado, los distintos choques que cambian estado s de partículas son los siguientes

- Chocan una partícula positiva y una negativa -> estado (a-1,b-1,c+2)
- Chocan una partícula positiva y una neutra -> estado (a-1,b+2,c-1)
- Chocan una partícula negativa y una neutra -> estado (a+2,b-1,c-1)

Observamos que si calculamos el residuo módulo 3 de las diferencias entre los estados de cada tipo de partículas (es decir, si tenemos el estado (x,z,y) entonces estos cálculos son x-y mod 3, y-z mod 3 y z-x mod 3) los valores se mantienen entre estados obtenidos mediante las transformaciones especificadas, es decir, entre el estado (a,b,c) y cada uno de los tres estados obtenidos con choques.

Por tanto, una condición necesaria para que haya solución es que alguno de los estados finales deseados (57,0,0), (0,57,0) o (0,0,57) tengan las mismas diferencias que el estado inicial (30,10,17).

Vemos que las diferencias de este estado inicial son

30-10 mod 3 = 1
10-17 mod 3 = 2
17-30 mod 3 = 1

Es decir, ninguno de los valores comparte el mismo residuo módulo 3.
En cambio, cualquiera de las soluciones tiene todos las diferencias con el mismo residuo módulo 3, 0.
Por tanto, se trata de estados incompatibles, es decir, a partir del estado inicial no se puede conseguir ninguno de los estados finales deseados.