diumenge, 12 d’octubre de 2008

Què ha de fer el tirador?

L'altre dia vaig topar-me amb un problema d'aquells que la resposta no és la que sembla a primera vista. És el següent.

Se suposa que hi ha tres tiradors. El primer d'ells és molt bo, té un percentatge d'encert del 100%. On posa l'ull posa la bala. El segon no ho és tant, té una efectivitat del 50%. El tercer és el més dolent de tots, només encerta en un de cada tres tirs que fa, el 33%.

Aquests tres tiradors es troben enfrontats en un duel on, alternativament s'hauran d'anar disparant. Primer començarà un, després l'altre, després l'altre, un altre cop el primer, etc.

Per donar opcions a tots, es decideix que l'ordre serà el següent: primer dispararà el pistoler més dolent (el del 33%), després el mitjà (el del 50%) i finalment el més bo (el del 100%). En cas que hi hagi més rondes es repetirà l'ordre.

Pregunta

Suposem que nosaltres som els consellers/amics del tirador més dolent (el del 33%). Què li hem d'aconsellar que faci en el seu tir? Disparar contra el més bo? Contra el mitjà?


...
...
...
...



Resposta

Disparar contra el més bo oi? Té una cosa millor a fer: FALLAR. Fixem-nos-hi.

Si dispara contra el més bo i el mata, llavors el mitjà el dispararà a ell, amb un 50% de possibilitats de morir.

Si dispara contra el mitjà i el mata encara és pitjor, ja que llavors el més bo el matarà segur.

En canvi, si falla (expressament o no, però és més fàcil fer-ho expressament) llavors el torn passa al mitjà. Aquest dispararà contra el més bo (òbviament). Si el mata llavors el nostre tirador té la possibilitat de sortir viu del duel, ja que efectua el següent tir (33% de possibilitats). Si el mitjà falla, llavors el torn passa al més bo. Aquest clarament matarà el mitjà i igualment el nostre amic tirador tindrà la possibilitat de sortir-ne viu si encerta en el següent tir.

En tots dos casos la situació és sensiblement millor que si dispara contra un dels dos pistolers i el mata.


De tota manera, la millor solució seria solucionar les coses amb una conversa i estalviar-se haver de fer servir les armes :-)

diumenge, 17 de febrer de 2008

Cavallers i escuders

El llibre de divertiments lògics que m'agrada més és un de Raymond Smullyan que té per títol ¿Cómo se llama este libro? En particular, m'apassiona la secció d'endevinalles sobre els cavallers i els escuders. Les endevinalles que hi apareixen són molt típiques de la lògica, i també estan a d'altres llibres, però en aquest que cito n'hi ha un bon recull, la majoria ideades per l'autor.

Se suposa que hi ha una illa en la que certs habitants anomenats cavallers diuen sempre la veritat, i d'altres anomenats escuders sempre menteixen. Se suposa que tot habitant de la illa és o cavaller o escuder. Amb aquest plantejament tan senzill podem pensar moltes endevinalles.

  1. (26) Segons aquest vell problema, tres dels habitants -A, B i C- es trobaven en un jardí. Un estranger passava per allà i li va preguntar a A, "Ets cavaller o escuder?". A va respondre, però tan confosament que l'estranger no ho va entendre. Llavors l'estranger va preguntar a B, "Què ha dit A?". I B va respondre "A ha dit que és escuder". Però en aquest instant el tercer home, C, va dir, "No creguis a B, que menteix!".
    La pregunta és, què són B i C?

  2. (28) En aquest problema hi ha només dos individus, A i B, cadascun dels quals és o cavaller o escuder. A diu: "Al menys un de nosaltres és escuder"
    Què són A i B?

  3. (29) Suposem que A diu, "O jo sóc un escuder o B és un cavaller". Què són A i B?

  4. (30) Suposem que A diu, "O jo sóc un escuder o en cas contrari dos més dos és igual a cinc". Què podem concloure?

  5. (31) Novament tenim tres persones, A, B i C, cadascuna de les quals és o cavaller o escuder. A i B diuen el següent
    A: Tots nosaltres som escuders.
    B: Un de nosaltres, i només un, és un cavaller.
    Què són A, B i C?

Solucions
  1. És impossible que un cavaller o un escuder diguin "Jo sóc escuder", ja que un cavaller estaria dient l'enunciat fals de que ell és escuder, i un escuder estaria emetent l'enunciat cert que ell és escuder. Per tant, A mai diria que és escuder. Per tant, B mentia quan va dir que A havia dit que ell era escuder. Per tant B és escuder. Com que C va dir que B estava mentint, i B estava certament mentint, C va dir la veritat, d'aquí que C és un cavaller. Concloem, doncs, que B és un escuder i C un cavaller. (És impossible saber què és A).

  2. Suposem que A fos escuder. Llavors l'enunciat "Al menys un de nosaltres és escuder" seria fals (ja que els escuders emeten enunciats falsos); d'on en segueix que tots dos serien cavallers. Així, si A fos escuder, hauria de ser també cavaller, cosa impossible. Per tant A no és un escuder; és un cavaller. I per això el seu enunciat ha de ser cerr; així, al menys un d'ells és realment un escuder. Com que A és cavaller, llavors B ha de ser l'escuder. Resumint, A és cavaller i B escuder.

  3. A i B són tots dos cavallers.

  4. L'única conclusió vàlida és que l'autor d'aquest problema no és un cavaller. El fet és que ni un cavaller ni un escuder podrien haver emès aquest enunciat!

  5. A escuder, B cavaller i C escuder.

dijous, 24 de gener de 2008

Quants afinadors de piano té la ciutat de Boston?

Extret de "Matemática, ¿estás ahí?", d'Adrián Paenza

Un executiu, en un moment determinat de la seva vida, es va topar amb aquesta pregunta en una entrevista de feina. La pregunta pretenia estimar "el seu sentit comú".
-Quants afinadors de piano creu vostè que té la ciutat de Boston? -L'entrevista es feia en aquella ciutat d'Estats Units.
No es tractava, obviament, de que ell respongués amb
exactitud. Possiblement ningú sap amb precisió el nombre exacte d'afinadors de piano que hi ha en una ciutat. Del que si es tractava es de que algú que visqués en una ciutat pugués estimar. No pretenien que digués ni 23 ni 450.000. Però sí volien escoltar-lo raonar. I veure'l arribar a una conclusió. Suposem, per un moment, que n'hi ha uns mil. No volien que conclogués ni 23 ni 450.000, per suposat, perquè hauria estat allunyadíssim del nombre aproximat.
De la mateixa manera, si a una persona li preguntessin quina podia ser la màxima temperatura en un dia a Barcelona, ningú respondria 450 graus, ni tampoc 150 graus sota zero. Es preten, doncs, una estimació. Però molt més encara: v
olien escoltar el seu raonament.



L'autor del llibre, Adrián Paenza, també fa els seus càlculs. No hem de coincidir amb el seu raonament ni amb el nombres que proposa, i invita al lector a fer el seu propi càlcul.
A Boston hi viuen aproximadament 589.000 persones i hi ha unes 250.000 cases. Per tant,
persones: 600.000
cases: 250.000
Cada quantes cases hi deu haver un piano? Cent? Mil? Deu mil? L'autor proposa cent. Per tant, amb 250.000 cases, i un piano per cada cent, significa que, segons l'autor, a Boston hi ha 2.500 pianos.
Ara bé, s'ha de fer una nova estimació. Cada afinador, quants pianos atén? Cent? Mil? Deu mil? L'autor torna a elegir cent. Per tant, si hi ha 2.500 pianos i cada afinador atén cent pianos resulta que hi haurà, d'acord amb les seves suposicions, aproximadament 25 afinadors de piano.

Els tres excursionistes

Dedicat al Tiet, en Lluís i en Xavier

En aquest problema són tres excursionistes que van a fer una ruta. El primer porta 5 entrepans, el segon 3 i el tercer no en porta cap. A l'hora de dinar tots comparteixen el que han portat, és a dir, cada excursionista menja 8/3 d'entrepà. Se suposa que tots els entrepans tenen un valor semblant.
Quan passen comptes el tercer dóna 24 € (!!) als altres i els diu que se'ls reparteixin de forma justa.

Pregunta
Quants diners toquen a cada excursionista?


Resposta
Semblaria que al primer li toquen 5/8 dels 24 €, és a dir, 15 € i al segon la resta, és a dir, 9 €. Aquest repartiment és incorrecte, ja que no té en compte que els dos excursionistes anteriors TAMBÉ han menjat. Seria correcte si el tercer s'hagués menjat tots els entrepans.

Val més enfocar-ho d'una altra manera. El tercer excursionista, al pagar 24 €, FIXA el preu dels entrepans. És a dir, 8/3 d'entrepà (la part que ell ha menjat) valen 24 € (el que ha pagat). Amb aquesta dada podem calcular el que cobra cadascun dels dos excursionistes. Primer obtenim el preu d'un entrepà, que és 24 * 3/8 = 9 €.
El primer excursionista ha aportat 5 entrepans. Ha de cobrar doncs 9 * 5 = 45 €. Però ha menjat com tots i ha de pagar 24 €. Per tant ha de cobrar 45 - 24 = 21 €.
El segon excursionista ha aportat 3 entrepans, cobra 9 * 3 = 27 €, i ha de pagar-ne 24 pel que ha menjat. Ha de cobrar, doncs, 27 - 24 = 3 €.
Aquest repartiment és més correcte que l'anterior ja que té en compte que tots han menjat igual.

Seria curiós saber de què eren els entrepans (no se'n veuen gaire sovint d'entrepans de 9 €)...

Hi passarà un gat?

El problema és el següent: Suposem que tenim una corda molt llarga amb la que donem la volta a la Terra formant una circumferència. Suposem també que no ens sobra gens de corda, es a dir, la corda està tensa i enganxada al terra.
Ara fem el mateix però amb una corda que té un metre més de longitud. Suposem, com abans, que la corda forma una circumferència, és a dir, que està igualment distribuida al voltant de tota la Terra.

Pregunta
Amb l'espai que hi haurà ara entre la corda i el terra, hi podà passar un gat?


Resposta

Sí, sempre que el gat no sigui enorme. Vegem amb formuletes el resultat.
Anomenem L a la longitud de la corda i R al radi de la Terra i Q al radi de la nova circumferència. Llavors
L=2*Pi*R+1=2*Pi*Q
i per tant
Q=R+1/(2*Pi)
d'on obtenim que la distància de la corda al terra serà 1/(2*Pi) metres, aproximadament uns 16 centímetres.
Per tant, un gat normal no tindrà cap problema per passar entre la corda i el terra.