Cavallers i escuders

El llibre de divertiments lògics que m'agrada més és un de Raymond Smullyan que té per títol ¿Cómo se llama este libro? En particular, m'apassiona la secció d'endevinalles sobre els cavallers i els escuders. Les endevinalles que hi apareixen són molt típiques de la lògica, i també estan a d'altres llibres, però en aquest que cito n'hi ha un bon recull, la majoria ideades per l'autor.

Se suposa que hi ha una illa en la que certs habitants anomenats cavallers diuen sempre la veritat, i d'altres anomenats escuders sempre menteixen. Se suposa que tot habitant de la illa és o cavaller o escuder. Amb aquest plantejament tan senzill podem pensar moltes endevinalles.

1. (26) Segons aquest vell problema, tres dels habitants -A, B i C- es trobaven en un jardí. Un estranger passava per allà i li va preguntar a A, "Ets cavaller o escuder?". A va respondre, però tan confosament que l'estranger no ho va entendre. Llavors l'estranger va preguntar a B, "Què ha dit A?". I B va respondre "A ha dit que és escuder". Però en aquest instant el tercer home, C, va dir, "No creguis a B, que menteix!".
   La pregunta és, què són B i C?


2. (28) En aquest problema hi ha només dos individus, A i B, cadascun dels quals és o cavaller o escuder. A diu: "Al menys un de nosaltres és escuder"
   Què són A i B?


3. (29) Suposem que A diu, "O jo sóc un escuder o B és un cavaller". Què són A i B?
   


4. (30) Suposem que A diu, "O jo sóc un escuder o en cas contrari dos més dos és igual a cinc". Què podem concloure?


5. (31) Novament tenim tres persones, A, B i C, cadascuna de les quals és o cavaller o escuder. A i B diuen el següent
   A: Tots nosaltres som escuders.
   B: Un de nosaltres, i només un, és un cavaller.
   Què són A, B i C?

Solucions

1. És impossible que un cavaller o un escuder diguin "Jo sóc escuder", ja que un cavaller estaria dient l'enunciat fals de que ell és escuder, i un escuder estaria emetent l'enunciat cert que ell és escuder. Per tant, A mai diria que és escuder. Per tant, B mentia quan va dir que A havia dit que ell era escuder. Per tant B és escuder. Com que C va dir que B estava mentint, i B estava certament mentint, C va dir la veritat, d'aquí que C és un cavaller. Concloem, doncs, que B és un escuder i C un cavaller. (És impossible saber què és A).


2. Suposem que A fos escuder. Llavors l'enunciat "Al menys un de nosaltres és escuder" seria fals (ja que els escuders emeten enunciats falsos); d'on en segueix que tots dos serien cavallers. Així, si A fos escuder, hauria de ser també cavaller, cosa impossible. Per tant A no és un escuder; és un cavaller. I per això el seu enunciat ha de ser cerr; així, al menys un d'ells és realment un escuder. Com que A és cavaller, llavors B ha de ser l'escuder. Resumint, A és cavaller i B escuder.


3. A i B són tots dos cavallers.
   


4. L'única conclusió vàlida és que l'autor d'aquest problema no és un cavaller. El fet és que ni un cavaller ni un escuder podrien haver emès aquest enunciat!
   


5. A escuder, B cavaller i C escuder.