dissabte, 21 de novembre de 2009

Un altre de probabilitats

Dedicat a en Dani Alonso

Una dona embarassada sap, pels resultats d'una ecografia, que està esperant bessons, i que seran dos varons. El seu metge li ha dit que 1 de cada 3 parts dobles resulta ser de bessons idèntics.
Quina és la probabilitat que els dos fills d'aquesta dona siguin bessons idèntics?


- - -
- - -
- - -
- - -
- - -
- - -
- - -
- - -


Solució 1:
Assumim que la probabilitat que una fecundació
produeixi un nen o una nena és la mateixa, 1/2.

Pr(2 nens) = 1/4
Pr(2 nens | bessons idèntics) = 1/2
Pr(bessons idèntics) = 1/3

Teorema de Bayes:

Pr(A|B) = Pr(B|A) * P(A) / P(B)

Si prenem:
A = bessons idèntics
B = 2 nens
tenim:

Pr(bessons idèntics | 2 nens)

Pr(2 nens | bessons idèntics) * Pr(bessons idèntics)
= ----------------------------------------------------
Pr(2 nens)

1/2 * 1/3
= --------- = 2/3
1/4



Solució 2:
La clau del raonament és en la suposició (errònia)
que la probabilitat de tenir dos nens és 1/4.
En realitat és la següent:

Pr(2 nens)
= Pr(2 nens | no idèntics) + Pr(2 nens | bessons idèntics)
= 1/4 * 2/3 + 1/2 * 1/3 = 1/6 + 1/6 = 1/3

Llavors el càlcul és:

Pr(2 nens) = 1/3

Pr(2 nens | bessons idèntics) = 1/2
Pr(bessons idèntics) = 1/3

Teorema de Bayes:

Pr(A|B) = Pr(B|A) * P(A) / P(B)

Si prenem:
A = bessons idèntics
B = 2 nens

tenim:

Pr(bessons idèntics | 2 nens)

Pr(2 nens | bessons idèntics) * Pr(bessons idèntics)
= ----------------------------------------------------
Pr(2 nens)

1/2 * 1/3
= --------- = 1/2
1/3



En aquest problema, l'esdeveniment "tenir dos nens" no és ben bé tenir dos nens, sinó més aviat "tenir dos nens en un mateix part". Llavors s'entén més el resultat de la segona solució.

En el món de la probabilitat tot és relatiu (el problema de les 3 portes n'és un bon exemple): quan llegeixo de nou l'enunciat veig que també podem arribar a la conclusió que la probabilitat de tenir bessons idèntics és 1/3, tal i com li diu el metge a la dona inicialment.

Per tant, en la meva modesta opinió, hi ha tres resultats possibles (1/3, 1/2 o 2/3) que poden ser justificables des d'algun punt de vista.