El problema de les set vaques

Dedicat a l'àvia

Aquest és un conte que ens explicaven quan érem petits. No és matemàticament correcte al 100%, però la solució és elegant i, com tots els contes infantils, és agradable de llegir-lo. Diu així:


Hi havia una vegada una família de pagesos, un pare i tres fills, que tenien un ramat de vaques. Un dia inesperat el pare va morir. En el testament hi havia deixat escrit:

Dono la meitat de les vaques al meu fill gran. De la resta, el fill mitjà se'n quedarà la meitat. De les altres, el fill petit se'n quedarà també una meitat.

En aquell moment la família disposava de set vaques. Després de fer els números, els va sortir el següent repartiment:

Gran:  3,5 vaques
Mitjà: 1,75 vaques
Petit: 0,875 vaques

Com havien de fer el repartiment? Com el fill gran podia quedar-se amb 3 vaques i mitja? I pels altres fills encara era més complicat, com es podien quedar amb 0,75 vaques o 0,875, en el cas del petit?

Els fills van anar a trobar el savi, conegut per la seva experiència en solucionar casos com els seus. El savi els va dir:

Preneu la meva vaca i torneu a fer el repartiment. Segur que us ajudarà. I, quan hagueu solucionat el problema ja ho arreglarem d'alguna manera.

Els fills van tornar cap a casa seva amb la vaca del savi. Després de fer els càlculs de nou els va sortir el següent repartiment:

Gran:  4 vaques
Mitjà: 2 vaques
Petit: 1 vaca

Ara havien solucionat el problema de les meitats i altres fraccions de vaca. A més, els sobrava una vaca, que ràpidament van tornar al savi. Quan eren allà van preguntar-li:

Savi, vostè ens ha ajudat en el repartiment, però ens queda el dubte de si aquest ha estat just per a nosaltres, o bé si hi ha hagut algú que se n'ha beneficiat.

El savi els va respondre:

Pel fill gran, el repartiment és just, ja que abans li tocaven 3,5 vaques i ara li'n toquen 4. Pel fill mitjà, el repartiment també és beneficiós, ja que abans li tocaven 1,75 vaques i ara li'n toquen 2. I pel fill petit també: passa de 0,875 a 1 vaca. Així que no hi veig cap problema en fer aquest repartiment.

I així els fills van poder fer un repartiment de les vaques bastant semblant al que deia el testament sense haver de partir cap vaca per la meitat i beneficiós per a tots ells.