dilluns, 6 d’agost de 2012

Feu la prova

Publicat al suplement es-Estils de vida de La Vanguardia el 2 de juliol de 2012

 José María Letona, director de l'Escola de Pensament Matemàtic Miguel de Guzmán, proposa de posar a prova el nostre raonament matemàtic amb cinc problemes, alguns de clàssics i d'altres no tant.

  1. En qualsevol torneig de tennis, el nombre de participants sempre permet que puguin aparellar-se en qualsevol ronda. Aquest nombre (8,16,34,64, etcètera) és dels que els matemàtics anomenen "potències de 2" i amb ells calcular el nombre de partits que hi haurà al torneig és molt fàcil. Per exemple: amb 16 participants, a la primera ronda hi haurà 8 partits; 4 a la segona; 2 a les semifinals i després 1, la final. En total, 15 partits. Amb 32 participants, hi haurà aquests 15 més els 16 priers. És a dir, 31 partits. En tots dos casos hi ha un partit menys que el nombre de jugadors. Si el nombre de participants no és d'aquesta mena (potència de 2), en algunes rondes hi hauria un nombre imparell de jugadors. Una opció raonable per evitar aquest problema és, en aquests casos, triar un jugador que, per sorteig, passa a la ronda següent. Així, per exemple, amb 13 jugadors passarien a la ronda següent l'escollit més els 6 guanyadors dels 12 partits restants. D'aquests set jugadors, per sorteig, se n'elegeix un que passa a la següent ronda amb els tres guanyadors dels partits restants. Aquests 4 ja juguen com sempre, i el nombre total de partits seria, llavors: 6+3+2+1=12. També un de menys! I amb 2.013 jugadors també deu ser un de menys? I amb qualsevol número?
  2. Cadascun dels 1.000 veïns de Matematilandia té un armariet com els dels instituts i el dia de les festes populars munten un joc ben curiós. Va el més jove i obre tots els armariets. El següent els tanca de dos en dos: és a dir, va als armaris 2, 4, 6, 8... i els tanca. El següent va de tres en tres: és a dir, va als armaris 3, 6, 9, 12... i els obre o els tanca segons siguin tancats o oberts, respectivament. El següent, de quatre en quatre, fa el mateix: obrir o tancar. El veí número 500 només va als armariets números 500 i 1.000 i els obre o tanca segons siguin tancats o oberts. I a partir d'ell, els veïns número 501, 502, 503... fins al 1.000 només van a un armari: el que indica el seu número i fan el mateix: obrir-lo o tancar-lo segons el trobin tancat o obert, respectivament. Al final del joc, per tant, alguns armariets estaran oberts i d'altres, tancats. La pregunta al visitant és clara. Sense esperar que s'acabi el joc, sabríeu calcular el número de l'últim aramari que quedarà obert?
  3. Dos caçadors es perden en meitat de la caça. Un porta 5 llonguets i l'altre 3. Es troben amb un tercer caçador que no porta res de menjar però sí 8 monedes, i acorden repartir-se els 8 llonguets entre tots tres, a parts iguals, i les 8 monedes entre els dos que aporten el pa. Com s'ha de fer, perquè sigui just, el repartiment de les 8 monedes? *
  4. Trieu els 6 números que vulgueu entre els 10 primers. Oi que sempre n'hi ha entre els escollits un que és múltiple d'un altre? I si escollíssiu 17 números entre l'1, 2, 3..., 32 seria segur que n'hi hauria un que seria múltiple d'un altre? I si n'escollíssiu 2.000 entre l'1, 2, 3..., 3.998? I si trieu la meitat més un entre 1,2,3..., 2n?
  5. En Pere troba 40 errades en un treball i la Marga, independentment, en troba 33, de les quals 24 són compartides amb en Pere. Quantes errades, aproximadament, se'ls han escapat entre tots dos? Però, si no sabem el nombre d'errades de la feina, com esbrinarem el nombre d'errades que no han detectat (aproximadament)? Es pot fer! 


* Aquest problema el recordeu? És el dels 3 excursionistes, que vaig publicar aquí: http://ferproblemes.blogspot.com/2008/01/els-tres-excursionistes.html

Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada