Calcular PI tirant pedres en un quadrat

Segurament aquest títol és difícil d'entendre, però el problema és tant senzill com preguntar-se si seríem capaços de trobar el nombre PI tirant només pedres. El procediment és el següent:

D'alguna manera dibuixem un quadrat al terra i també hi tracem un cercle inscrit.

Després comencem a tirar pedres. Les tirem aleatòriament, de manera que cada pedra pot caure a tant a fora com a dins del quadrat.

Quan ja haguem tirat N pedres, podem contar les que han caigut a dins del cercle NC i les que ho han fet a dins del quadrat NQ. La relació entre aquests dos nombres ha de ser equivalent a la relació de les àrees del cercle i del quadrat. És a dir, com més gran sigui una àrea, més pedres podrà contenir.

En altres paraules, es complirà la relació NC/NQ=AreaCercle/AreaQuadrat. Substituint el valor de les àrees obtenim: NC/NQ=PI*(R^2)/((2R)^2)=PI/4. És a dir: PI=4*NC/NQ.

Per tant, fent el quocient entre les pedres que han caigut a dins del cercle i les de dins del quadrat, i multiplicant-ho per 4 hem d'obtenir el nombre PI.

És evident que les pedres es tiren aleatòriament i que tirant 10 o 20 pedres estarem molt lluny del nombre que estem buscant. De totes maneres, tirant milions i milions de pedres s'ha d'obtenir un valor molt similar a PI. De fet, l'únic que fa falta tenir el temps de tirar tantes pedres.

Pot comú al pis

Fa uns anys, en Vila, en Joan i en Camp van llogar un pis per anar-hi a passar el curs. Per fer front a les despeses comunes, van decidir tenir un pot on cadascú hi va posar 50€.

Una setmana més tard, en Vila i en Camp van anar a un supermercat per comprar menjar. El cost total del menjar va ser de 90€. Quan van arribar al pis, en Joan va dir que no li agradava el que havien comprat i que no contessin amb ell per aquest menjar. En Vila i en Camp van dir que no hi havia cap problema i que passarien els compes corresponents.

En fer els comptes, en Vila va dir que, òbviament, ells havien de pagar 30€ perquè el que havien comprat no era d’en Joan. Encara que a en Camp no li acabava de convèncer la decisió, cadascú va posar 15€ al pot comú.

Durant la nit, en Camp va estar pensant amb la decisió que havien pres i va pensar que havia de parlar amb els seus companys de pis al matí següent. Quan es van llevar, en Camp va dir:

-Tenim 90€ al pot comú. És a dir, 150€ inicials, menys 90€ que vam gastar, més els 30€ que vam afegir-hi jo i en Vila després de la compra.

Llavors, en Joan va exclamar:

-Jo he pagat 50€, no he comprat res, i ara rebo només 30€!

Què ha passat?

..................................................

..................................................

..................................................

..................................................

..................................................

..................................................

La solució d’aquest problema pot ser pensada de dues maneres diferents:

A) En Vila i en Camp havien de pagar 30 €. Però aquesta quantitat l’havien de pagar directament a en Joan i no al pot comú. El fet de posar-ho al pot comú fa que realment no paguin 30€ ja que ells també reben aquesta quantitat.

Si ho paguen a en Joan, llavors hi haurà 60€ al pot comú. Després, al dividir-lo, rebran 20€ cadascú. Per tant, en Joan tindrà els 30€ que li han pagat directament més els 20€ del pot comú. Cosa que és correcte.

B) Si en Vila i en Camp volen retornar als diners al pot, han de pagar tots els 90€. És a dir, 45€ cadascú.

Fent-ho d’aquesta manera, restauren els 150€ inicials al pot comú i, si el divideixen, tots recuperen 50€.

Els tres excursionistes

Dedicat al Tiet, en Lluís i en Xavier

En aquest problema són tres excursionistes que van a fer una ruta. El primer porta 5 entrepans, el segon 3 i el tercer no en porta cap. A l'hora de dinar tots comparteixen el que han portat, és a dir, cada excursionista menja 8/3 d'entrepà. Se suposa que tots els entrepans tenen un valor semblant.
Quan passen comptes el tercer dóna 24 € (!!) als altres i els diu que se'ls reparteixin de forma justa.

Pregunta
Quants diners toquen a cada excursionista?


Resposta
Semblaria que al primer li toquen 5/8 dels 24 €, és a dir, 15 € i al segon la resta, és a dir, 9 €. Aquest repartiment és incorrecte, ja que no té en compte que els dos excursionistes anteriors TAMBÉ han menjat. Seria correcte si el tercer s'hagués menjat tots els entrepans.

Val més enfocar-ho d'una altra manera. El tercer excursionista, al pagar 24 €, FIXA el preu dels entrepans. És a dir, 8/3 d'entrepà (la part que ell ha menjat) valen 24 € (el que ha pagat). Amb aquesta dada podem calcular el que cobra cadascun dels dos excursionistes. Primer obtenim el preu d'un entrepà, que és 24 * 3/8 = 9 €.
El primer excursionista ha aportat 5 entrepans. Ha de cobrar doncs 9 * 5 = 45 €. Però ha menjat com tots i ha de pagar 24 €. Per tant ha de cobrar 45 - 24 = 21 €.
El segon excursionista ha aportat 3 entrepans, cobra 9 * 3 = 27 €, i ha de pagar-ne 24 pel que ha menjat. Ha de cobrar, doncs, 27 - 24 = 3 €.
Aquest repartiment és més correcte que l'anterior ja que té en compte que tots han menjat igual.

Seria curiós saber de què eren els entrepans (no se'n veuen gaire sovint d'entrepans de 9 €)...