13 - Una camisa brodada

L'enunciat i solució del tretzè problema es troba aquí:

http://www.elpais.com/videos/sociedad/camiseta/bordada/zigzag/elpepusoc/20110609elpepusoc_1/Ves/

La solució publicada a la web és aquesta:

http://www.elpais.com/articulo/sociedad/camisa/bordada/angulo/45/elpepusoc/20110614elpepusoc_10/Tes



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La solució que vam aportar és aquesta:


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La solución a las tres preguntas que presento es la siguiente:

1. 4,5 grados
2. 1,9675 cm
3. No se puede realizar

Explicación
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Observamos que, al ir trazando las líneas de longitud l entre los dos lados del ángulo estamos obteniendo triángulos isósceles, es decir, triangulos que tienen dos lados iguales, y también dos ángulos iguales.

Por definición, tenemos que el ángulo inicial es alpha.

Vemos con un simple dibujo que el ángulo que forma el segundo trazo con la base horizontal del ángulo es 2 * alpha.
Sucesivamente observamos que el ángulo que forma el tercer trazo con la parte no horizontal del ángulo es 3 * alpha.
El ángulo que forma el cuarto trazo con la parte horizontal es 4 * alpha.
...
El ángulo que forma el decimoctavo trazo con la parte horizontal es 18 * alpha.
El ángulo que forma el decimonoveno trazo con la parte no horizontal es 19 * alpha.
El ángulo que forma el vigésimo trazo con la parte horizontal es 90 grados, por hipótesis, y también 20 * alpha grados, por construcción.

Por tanto, tenemos la ecuación 90 = 20 * alpha, que tiene por solución alpha = 4,5 grados.

Si el lado inferior mide 25 cms, usando trigonometría tenemos que

l = 25 * tan(4,5) = 1,9675 cms.

Finalmente, observamos que no existe solución con ventiún trazos, ya que el trazo vigésimoprimero sería vertical, formando un ángulo de 90 grados con la parte horizontal del ángulo. Eso implicaría que el triángulo isósceles no sería un triángulo "normal" sería un triángulo con un sólo dos lados, lo cual significaría que estaríamos repitiendo un trazo.


Nota: Me ha costado bastante encontrar la solución, ya que inicialmente entendí que el vigésimo trazo tenía que finalizar en la línea horizontal. Al final dí en el hecho que podía finalizar en el segmento no horizontal y encontré la solución.