18 - D'un costat a l'altre

L'enunciahttp://www.blogger.com/img/blank.gift del divuitè problema era el següent:

http://www.elpais.com/videos/sociedad/lado/elpepusoc/20110714elpepusoc_1/Ves/


La solució d'aquest problema es troba aquí:

http://www.elpais.com/articulo/sociedad/caminata/horas/elpepusoc/20110719elpepusoc_20/Tes


Nosaltres el vam solucionar de la següent manera:

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Van a tardar 3,46 horas

Explicación
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Primero vamos a calcular el punto del triángulo tal que la suma de la distancia a los tres lados sea mínima. Obtendremos un resultado interesante.

Utilizando un sistema de coordenadas euclídeas podemos situar el triángulo con vértices en los puntos (denotaremos con r(x) a la raíz cuadrada de x)

A: (0,0)
B: (0,10)
C: (5*r(3),5)

Las rectas del plano que pasan por los vértices del triángulo son:

r: y = 0
s: 5x - 5r(3)y = 0
t: 5x - 5r(3)y - 50r(3) = 0

Denotando por P = (x,y) al punto buscado, la función a minimizar es f(x,y) = d(P,r) + d(P,s) + d(P,t)

Sabemos que la fórmula de distancia de un punto P = (x,y) a una recta Ax + By + C = 0 viene dada por la fórmula
d(P,r) = |Ax + By + C|/(r(A*A + B*B))

y, después de manipular adecuadamente, vemos que se anulan muchos térmminos y que llegamos a la función constante

f(x,y) = 5r(3)

lo que nos indica que todos los puntos del triángulo son mínimos (y máximos) respecto a la cantidad que buscamos. Además, la distancia de un punto a los tres lados es 5r(3), y como se recorre dos veces cada camino, una para ir y la otra para volver, tenemos que la distancia recorrida en un día es 10r(3) Km.

Si se mueven a 5 Km/h, tenemos que el tiempo total del recorrido es de 2r(3) horas, es decir, 3,46 horas.