dimecres, 24 d’agost de 2011

19 - Quadrats que sumen xifres grans

L'enunciat del dinovè problema era aquest:


http://www.elpais.com/videos/sociedad/Cuadrados/suman/grandes/cifras/elpepusoc/20110721elpepusoc_2/Ves


I la solució la següent:

http://www.elpais.com/articulo/sociedad/unica/suma/posible/elpepusoc/20110726elpepusoc_21/Tes

18 - D'un costat a l'altre

L'enunciahttp://www.blogger.com/img/blank.gift del divuitè problema era el següent:

http://www.elpais.com/videos/sociedad/lado/elpepusoc/20110714elpepusoc_1/Ves/


La solució d'aquest problema es troba aquí:

http://www.elpais.com/articulo/sociedad/caminata/horas/elpepusoc/20110719elpepusoc_20/Tes


Nosaltres el vam solucionar de la següent manera:

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Van a tardar 3,46 horas

Explicación
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Primero vamos a calcular el punto del triángulo tal que la suma de la distancia a los tres lados sea mínima. Obtendremos un resultado interesante.

Utilizando un sistema de coordenadas euclídeas podemos situar el triángulo con vértices en los puntos (denotaremos con r(x) a la raíz cuadrada de x)

A: (0,0)
B: (0,10)
C: (5*r(3),5)

Las rectas del plano que pasan por los vértices del triángulo son:

r: y = 0
s: 5x - 5r(3)y = 0
t: 5x - 5r(3)y - 50r(3) = 0

Denotando por P = (x,y) al punto buscado, la función a minimizar es f(x,y) = d(P,r) + d(P,s) + d(P,t)

Sabemos que la fórmula de distancia de un punto P = (x,y) a una recta Ax + By + C = 0 viene dada por la fórmula
d(P,r) = |Ax + By + C|/(r(A*A + B*B))

y, después de manipular adecuadamente, vemos que se anulan muchos térmminos y que llegamos a la función constante

f(x,y) = 5r(3)

lo que nos indica que todos los puntos del triángulo son mínimos (y máximos) respecto a la cantidad que buscamos. Además, la distancia de un punto a los tres lados es 5r(3), y como se recorre dos veces cada camino, una para ir y la otra para volver, tenemos que la distancia recorrida en un día es 10r(3) Km.

Si se mueven a 5 Km/h, tenemos que el tiempo total del recorrido es de 2r(3) horas, es decir, 3,46 horas.

17 - Una taula i una estovalla

El dissetè problema de la saga tenia el següent enunciat:

http://www.elpais.com/videos/sociedad/mesa/mantel/elpepusoc/20110707elpepusoc_1/Ves/

La solució d'aquest problema és troba aquí:

http://www.elpais.com/articulo/sociedad/mesa/igualitaria/elpepusoc/20110712elpepusoc_9/Tes

16 - Una mol·lècula de set àtoms

L'enunciat del setzè problema era aquest:

http://www.elpais.com/videos/sociedad/molecula/atomos/elpepudep/20110701elpepusoc_2/Ves/


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La solució que vam enviar era la que ve a continuació:

Una posible situación es una molécula con átomos con las coordenadas del fichero adjunto El esquema de la solución está en el esquema adjunto.

Nota: Detalle de la obtención de la solución.

Fijando el punto 1 con coordenadas (0,0), consideramos dos triángulos equiláteros de lado 1 con puntos 1, 2, 3 y 1, 5, 6.
Consideramos además los triángulos 2,3,4 y 5,6,7, también de lado 1.
Finalmente, imponemos que la distancia entre 4 y 7 sea 1.

Inicialmente vemos que la distancia entre 4 y 7 tiene que ser sqrt(3). Por tanto, usando el Teorema de Pitágoras, y situando el punto 4 de modo que sea simétrico al punto 7 respecto al eje vertical, tenemos que las coordenadas de 4 son (-1/2,-sqrt(11)/2), y las de 7 son (1/2,-sqrt(11)/2.

Finalmente usando trigonometría obtenemos las coordenadas de los puntos 2 y 3, y por simetría las de los puntos 5 y 6.