Inducció transfinita

Extret del llibre Teoría de Conjuntos y temas afines, de Seymour Lipschutz, pàg. 173

Definició:
Sigui A un conjunt ben ordenat i a un element de A. La secció inicial de a, , és el conjunt d'elements de A estrictament anteriors a a.


Demostrar el principi d'inducció transfinita:

Principi d'inducció transfinita:
Donat un subconjunt S d'un conjunt ben ordenat A amb les següents propietats:
(1)

(2) implica

Llavors es té que .


Demostració:
Suposem que , és a dir que és no buit. Com que A és ben ordenat, T té un primer element . Tot element és anterior a i per tant no pot pertànyer a T, pertanyent per tant a S. Per tant tenim que . Per (2), tenim que , cosa que contradiu que . Per tant, la suposició que és falsa, és a dir, .