El dohttp://www.blogger.com/img/blank.giftzè problema anava sobre cotxes de carreres:
http://www.elpais.com/videos/sociedad/exhibicion/coches/carreras/elpepusoc/20110601elpepusoc_1/Ves/
La solució publicada a la Web és aquesta:
http://www.elpais.com/articulo/sociedad/cuadrado/coches/lado/elpepusoc/20110608elpepusoc_1/Tes
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La solució que vam enviar és aquesta:
Van a participar 400 coches.
Explicación
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El número de coches totales es n*n.
Un rectángulo con el mismo número de coches que el cuadrado, con el formato pedido va a tener
n+5 filas
y
n*n / (n+5) columnas
El problema consiste en buscar, si existe, un valor de n tal que n*n / (n+5) sea entero y ver si este valor es único.
Un modo de verlo es el siguiente:
Definamos la función f(x) = x - x*x/(x+5)
Esta función es creciente: f'(x) > 0 para todo valor de x positivo.
Esta función tiene como máximo 5: podemos ver que f(x) < 5 para todo valor de x positivo.
Observamos que: Encontrar una solución entera a x*x/(x+5) es equivalente a encontrar una solución entera de f(x)
Las soluciones enteras de f(x) sólo pueden tomar 4 valores: 1,2,3,4
Sabiendo que f(x) es creciente, vemos (usando por ejemplo una hoja de cálculo) que la unica de estas condiciones que se cumple es cuando x = 20. En este caso f(x) = 4.
Por tanto, si n (o x) es igual a 20, el número de coches tiene que ser 20*20 = (20+5) * (20*20) / (20+5) = 25 * 16 = 400.
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