8 - Un cub de suma zero

L'enunciat del vuitè problema del concurs d'El País el podeu veure aquí:

http://www.elpais.com/articulo/sociedad/cubo/suma/cero/existe/elpepusoc/20110511elpepusoc_14/Tes

i la resposta que vam enviar la teniu a continuació.


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No se puede construir el cubo pedido.

Lo vemos con una observación inicial y razonando a partir de ella.

Observación
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Al cambiar el valor de un vértice de 1 a -1 o viceversa, la diferencia entre la cantidad de vértices y caras con valor 1 antes y después es siempre par: -4, -2, 0, 2 o 4.

Es sencillo ver esto. El cambio de un vértice afecta al vértice en cuestión y a tres caras del cubo, las adyacenetes al vértice. Todos los casos posibles son los siguientes:

- Si las tres caras y el vértice tenían valor -1, al cambiar el vértice la diferencia aumenta en 4 unidades.
- Si las tres caras tenían valor -1 y el vértice 1, al cambiar el vértice la diferencia aumenta en 2 unidades.
- Si dos caras tenían valor -1 y el vértice también, al cambiar el vértice la diferencia aumenta en 2 unidades.
- Si dos caras tenían valor -1 y el vértice 1, al cambiar el vértice la diferencia se mantiene igual.
- Si dos caras tenían valor 1 y el vértice -1, al cambiar el vértice la diferencia se mantiene igual.
- Si dos caras tenían valor 1 y el vértice 1, al cambiar el vértice la diferencia disminuye en 2 unidades.
- Si las tres caras tenían valor 1 y el vértice -1, al cambiar el vértice la diferencia dismunuye en 2 unidades.
- Si las tres caras y el vértice tenían valor 1, al cambiar de signo el vértice la diferencia disminuye en 4 unidades.


Visto esto, vemos también que

1. Dada una asignación de 1's y -1's a los vértices, la suma es única.
2. Partiendo de la posición con 1's en todos los vértices, y por tanto suma 8 + 6 = 14, podemos obtener cualquier asignación posible cambiando 1's por -1's.
3. Cualquier asignación válida será de estas, ya que si no realizando cambios hasta llegar a la configuración con 1's en todos los vértices llegaríamos a una contradicción.
4. Por tanto, por la observación inicial, toda asignación válida tiene un número par de elementos con valor 1.

La posición que se pide, en que la suma total es 0, corresponde a que 7 elementos entre caras y vértices tomen por valor 1.
Pero esto no puede ser ya que todas las posiciones válidas tienen un número par de elementos con valor 1.

Por tanto, no se puede construir el cubo pedido.