7 - Un piano musical

El setè problema de la saga anava sobre les tecles d'un piano musical:

http://www.elpais.com/articulo/sociedad/Solucion/problema/piano/sorpresa/musical/elpepusoc/20110503elpepusoc_7/Tes

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La solució que vam enviar és la següent:




1) Se habrán pulsado 2000 Do's.
2) Las notas Mi, Sol y La no se pulsan nunca.


Explicación
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En todo el proceso sólo se tocan cuatro notas diferentes:

- Do
- Re
- Fa
- Si

Si identificamos a:

- Do como el conjunto de números congruentes con 1 módulo 7
- Re como el conjunto de números congruentes con 2 módulo 7
- Fa como el conjunto de números congruentes con 4 módulo 7
- Si como el conjunto de números congruentes con 0 módulo 7

Vemos que sólo se tocan estas notas ya que el procedimiento que se aplica tiene un ciclo que se va repitiendo. Este ciclo de notas que se pulsan es el siguiente (denotamos con = el signo de congruencia módulo siete):

- 1
- 1 + 1 = 2
- 2 + 2 = 4
- 4 + 3 = 7 = 0
- 0 + 4 = 4
- 4 + 5 = 9 = 2
- 2 + 6 = 8 = 1
- 1 + 7 = 1 + 0 = 1
- 1 + 8 = 1 + 1 = 2
- 2 + 9 = 2 + 2 = 4
...


Vemos que la secuencia que se va repitiendo es:

1240421124042112404211...,

que corresponde a las notas

Do Re Fa Si Fa Re Do Do Re Fa Si Fa Re Do Do...

También vemos que de cada 7 teclas pulsadas dos son Do's. Por tanto, si se pulsan 7000 teclas se habrán pulsado 2000 Do's.

En resumen:

1) Si se pulsan 7000 teclas se habrán pulsado 2000 Do's.
2) Las notas Mi, Sol y La no se pulsan nunca.