5 - Un país d'escuradents

El cinquè problema de la sèrie d'El País, corresponent als dies 15-18 d'abril, el podeu veure aquí:

http://www.elpais.com/articulo/sociedad/ganar/siempre/palillos/elpepusoc/20110419elpepusoc_5/Tes

A continuació presentem la nostra solució als dos problemes que es proposaven.

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Observación
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En total hay 19 palillos, distribuidos de la siguiente forma:
- 5 en la letra P
- 5 en la letra A
- 4 en la letra I
- 5 en la letra S


Solución al problema 1
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El jugador 1 gana siempre con la estrategia que explicamos a continuación:

La idea es que siempre, después de escoger el jugador 1, quede en la mesa una cantidad múltiple de 4 de palillos: 0, 4, 8, 12 o 16.

- Inicialmente el jugador coge 3. Así quedarán en la mesa 16.
- Después de qe el jugador 2 coja sus palillos, el jugador 1 cogerá la cantidad necesaria para que queden 12 en la mesa. Es decir,
* Si el jugador 2 coge 1, el jugador 1 coge 3
* Si el jugador 2 coge 2, el jugador 1 coge 2
* Si el jugador 2 coge 3, el jugador 1 coge 1

- Se repite el mismo proceso para que queden 8, 4 y 0 en la mesa. En este último caso, el jugador 1 habrá cogido siempre el últmo
palillo y por tanto ganará.



Solución al problema 2
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Definimos turno como una toma de palillos por parte de un jugador cualquiera, y recordamos que en un turno sólo se pueden coger palillos de una letra.
Definimos toma de una letra como un turno en el que se cogen palillos de esta letra.

El jugador 1 gana siempre con la estrategia que explicamos a continuación:

El jugador 1 tiene que asegurarse que las letras P, A y S se terminen exactamente en tres turnos (y tomas) y que la letra I se termine en dos turnos (y tomas). Si consigue que se cumpla esto habrá ganado, ya que las letras se terminarán en 3 + 3 + 2 + 3 = 11 turnos, y puesto que el jugador 1 tiene los turnos impares, él será el que coja el último palillo en el turno 11.

Veamos que puede conseguir esto:

- Si en el turno anterior el jugador 2 realiza la primera toma de una letra, en el siguiente turno el jugador 1 hará lo siguiente:
* Si la letra es P,A o S, cogerá todos los palillos menos 1, asegurando que la letra se termine en 3 tomas.
* Si la letra es la I, cogerá todos los palillos, asegurando que la letra se termine en 2 tomas.
Vemos que siempre puede hacer esto ya que en las letras P,A y S quedarán entre 2 y 4 palillos antes de su turno, y en la letra I quedarán entre 1 y 3 palillos antes de su turno.

- Si en el turno anterior el jugador 2 realiza la segunda toma de una letra que es P, A o S, en el siguiente turno el jugador 1 hará lo siguiente:
* Cogerá todos los palillos restantes, asegurando que la letra se termine en 3 tomas.
Vemos que siempre puede hacer esto ya que si el jugador 2 ha realizado la segunda toma de P, A o S sólo puede ser debido a que el jugador 1 habrá realizado la primera, y el jugador 1 habrá dejado 4 palillos pendientes (Ver el punto siguiente). Después de la toma del jugador 2, quedarán como mucho 3, y el jugador 1 podrá terminar la letra.

- Sino, el jugador 1 puede jugar cualquier opción válida de las siguientes en un turno:
* Realizar la primera toma de las letras P, A o S cogiendo 1 palillo.
* Realizar la primera toma de I cogiendo 3 palillos.
* Realizar la segunda toma de P, A o S dejando sólo uno.
* Realizar la segunda toma de I cogiendo todos los palillos restantes.
* Realizar la tercera toma de P, A o S cogiendo los palillos restantes.

Vemos que con todos estos movimientos el jugador 1 avanza en la resolución del problema manteniendo los turnos y tomas previstos. Y también vemos que el jugador 2 no tiene ninguna posibilidad de variar ni el número de turnos ni el número de tomas en el que se terminan las letras.