3 - Un quadrat màgic de productes

El tercer problema del concurs d'El País, corresponent als dies 1-4 d'abril, era el següent:

http://www.elpais.com/videos/sociedad/cuadrado/magico/productos/elpepusoc/20110401elpepusoc_1/Ves/

Es tracta de construir un quadrat 3x3 amb nombres enters positius i diferents tals que

• A la casella del mig hi hagi el número 15
• El producte de les tres files, tres columnes i dues diagonals sigui sempre el mateix.

La solució "oficial" la podeu trobar a la web d'El País:

http://www.elpais.com/articulo/sociedad/Cuadrado/magico/productos/solucionado/elpepusoc/20110405elpepusoc_2/Tes


Nosaltres, aquí, expliquem la que vam trobar.




Construir quadrats màgics amb sumes és relativament fàcil, aquí en tenim un exemple:

4 9 2
3 5 7
8 1 6

i transformar un quadrat en un altre mitjançant sumes i restes és senzill també. Aquí tenim un altre quadrat màgic que és com l'anterior però restant 4 a cada nombre:

0  5 -2
-1  1  3
4 -3  2

La idea que vam pensar és transformar el problema del quadrat màgic de productes en un problema de quadrats màgics amb sumes. Com? Jugant amb els exponents!

El primer intent que vam fer fou construir un quadrat on tots els números fossin 15^x,
amb x un exponent diferent. Com que al mig hi ha d'haver el número 15, la proposta era el següent quadrat:

15^0    15^5    15^(-2)
15^(-1) 15^1    15^3
15^4    15^(-3) 15^2

Bé! ara ja teníem un quadrat màgic de productes amb el número 15 al mig, tot i que no era correcte perquè no tots els números eren enters positius.

La següent idea que vam pensar és en jugar amb els exponents però descomposant el número 15 en els seus factors: 3 i 5

15 = 3^1 * 5^1

Llavors el problema era el següent:

Construir un quadrat màgic de sumes de parells de nombres on

• La suma de cada parell de nombre sigui un quadrat màgic
• No es repeteixi el mateix parell de nombres

Hem d'omplir el següent quadrat.

x/x x/x x/x
x/x 1/1 x/x
x/x x/x x/x

on el primer nombre dels parells és l'exponent del 3 i el segon l'exponent del 5.

Aquest problema és una mica més complicat que el dels quadrats màgics de sumes, però amb una mica de paciència es pot trobar una solució. Per exemple:

2/1 0/0 1/2
0/2 1/1 2/0
1/0 2/2 0/1

que correspon al quadrat màgic de productes

45   1 50
25  15  9
3 225  5

Bé! Ja teníem una solució!

Després ens vam preguntar perquè en el plantejament del problema es posava el número 15 al mig. Existeix una solució semblant amb un número més petit al centre del quadrat?

Sí, posant-hi el 6. El 6 és el número més petit compost producte de dos números diferents que no siguin l'1. Amb el 6 al mig del quadrat i mantenint els exponents anteriors tenim un altre quadrat màgic de productes.