4 - Un rellotge de dos colors

El quart problema del concurs del diari El País, corresponent als dies 8-11 d'abril, era el següent:

http://www.elpais.com/videos/sociedad/reloj/colores/elpepueco/20110407elpepusoc_1/Ves/

La solució es va publicar en aquesta pàgina:

http://www.elpais.com/articulo/sociedad/Siempre/hay/recta/cualquier/reloj/elpepueco/20110412elpepusoc_11/Tes


En aquest escrit presentem la solució que vam enviar.

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Empezamos la demostración con una observación:

Observación
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Sea una línea que separa seis números de otros seis, y que en un lado deja x números pintados de azul y (6-x) pintados de rojo.
Consideramos ahora otra línea separadora que mantenga en el mismo lado a cinco de los seis números anteriores y añada un nuevo número. Es decir, si antes la línea separaba

1 2 3 4 5 6 | 7 8 9 10 11 12

ahora esta puede ser

12 1 2 3 4 5 | 6 7 8 9 10 11
o
2 3 4 5 6 7 | 8 9 10 11 12 1.

Estas nuevas separaciones dejan en el mismo lado a x+1,x o x-1 números azules y (6-x)+1, (6-x) o (6-x)-1 pintados de rojo.

demostración
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Es sencillo:
- Si el color del número que ahora no está coincide con el del nuevo número, seguirá habiendo x números azules y (6-x) de rojos.
- Si el número que ahora no está es azul y el nuevo es rojo, ahora habrá x-1 números azules y (6-x)+1 de rojos.
- Si el número que ahora no esta es rojo y el nuevo es azul, ahora habrá x+1 números azules y (6-x)-1 de rojos.


Con esta observación ya podemos demostrar el problema.


demostración del problema
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Supongamos que no es cierto, es decir, que existe una configuración de seis números azules y seis rojos que no se pueden separar dejando tres de cada color en cada lado.
Trazamos una línea que separe los puntos

1 2 3 4 5 6 | 7 8 9 10 11 12

Ahora tendremos x bolas azules en el lado de los números (1 2 3 4 5 6).
Supongamos x > 3 (x = 3 no puede ser, y si x < 3 cambiamos azules por rojas en el razonamiento). 1 2 3 4 5 6 | 7 8 9 10 11 12 > 3 azules

Consideramos ahora la separación

2 3 4 5 6 7 | 8 9 10 11 12 1

Por la observación anterior, en el lado de los números (2 3 4 5 6 7) podrían estar 3 o más de 3 bolas azules. Pero 3 no puede haber, ya que entonces tendríamos una solución. Por tanto, sigue habiendo más de 3:

2 3 4 5 6 7 | 8 9 10 11 12 1
> 3 azules

Razonando de igual modo, podemos construir las separaciones

3 4 5 6 7 8 | 9 10 11 12 1 2
> 3 azules

4 5 6 7 8 9 | 10 11 12 1 2 3
> 3 azules

...

Hasta que llegamos a la configuración

7 8 9 10 11 12 | 1 2 3 4 5 6
> 3 azules

que da lugar a una contradicción con la primera configuración, ya que
- El reloj tiene 6 números azules.
- Tenemos más de 3 azules en el lado de los números (1 2 3 4 5 6) y más de 3 azules en el lado de los números (7 8 9 10 11 12)!!!

Por tanto, para toda configuración del reloj existe una separación que deja 3 números azules y 3 de rojos en cada lado.