L'enunciat i solució del tretzè problema es troba aquí:
http://www.elpais.com/videos/sociedad/camiseta/bordada/zigzag/elpepusoc/20110609elpepusoc_1/Ves/
La solució publicada a la web és aquesta:
http://www.elpais.com/articulo/sociedad/camisa/bordada/angulo/45/elpepusoc/20110614elpepusoc_10/Tes
.
.
.
La solució que vam aportar és aquesta:
.
.
.
La solución a las tres preguntas que presento es la siguiente:
1. 4,5 grados
2. 1,9675 cm
3. No se puede realizar
Explicación
===========
Observamos que, al ir trazando las líneas de longitud l entre los dos lados del ángulo estamos obteniendo triángulos isósceles, es decir, triangulos que tienen dos lados iguales, y también dos ángulos iguales.
Por definición, tenemos que el ángulo inicial es alpha.
Vemos con un simple dibujo que el ángulo que forma el segundo trazo con la base horizontal del ángulo es 2 * alpha.
Sucesivamente observamos que el ángulo que forma el tercer trazo con la parte no horizontal del ángulo es 3 * alpha.
El ángulo que forma el cuarto trazo con la parte horizontal es 4 * alpha.
...
El ángulo que forma el decimoctavo trazo con la parte horizontal es 18 * alpha.
El ángulo que forma el decimonoveno trazo con la parte no horizontal es 19 * alpha.
El ángulo que forma el vigésimo trazo con la parte horizontal es 90 grados, por hipótesis, y también 20 * alpha grados, por construcción.
Por tanto, tenemos la ecuación 90 = 20 * alpha, que tiene por solución alpha = 4,5 grados.
Si el lado inferior mide 25 cms, usando trigonometría tenemos que
l = 25 * tan(4,5) = 1,9675 cms.
Finalmente, observamos que no existe solución con ventiún trazos, ya que el trazo vigésimoprimero sería vertical, formando un ángulo de 90 grados con la parte horizontal del ángulo. Eso implicaría que el triángulo isósceles no sería un triángulo "normal" sería un triángulo con un sólo dos lados, lo cual significaría que estaríamos repitiendo un trazo.
Nota: Me ha costado bastante encontrar la solución, ya que inicialmente entendí que el vigésimo trazo tenía que finalizar en la línea horizontal. Al final dí en el hecho que podía finalizar en el segmento no horizontal y encontré la solución.
dimecres, 15 de juny del 2011
diumenge, 12 de juny del 2011
12 - Una exhibició de cotxes de carreres
El dohttp://www.blogger.com/img/blank.giftzè problema anava sobre cotxes de carreres:
http://www.elpais.com/videos/sociedad/exhibicion/coches/carreras/elpepusoc/20110601elpepusoc_1/Ves/
La solució publicada a la Web és aquesta:
http://www.elpais.com/articulo/sociedad/cuadrado/coches/lado/elpepusoc/20110608elpepusoc_1/Tes
.
.
.
La solució que vam enviar és aquesta:
Van a participar 400 coches.
Explicación
===========
El número de coches totales es n*n.
Un rectángulo con el mismo número de coches que el cuadrado, con el formato pedido va a tener
n+5 filas
y
n*n / (n+5) columnas
El problema consiste en buscar, si existe, un valor de n tal que n*n / (n+5) sea entero y ver si este valor es único.
Un modo de verlo es el siguiente:
Definamos la función f(x) = x - x*x/(x+5)
Esta función es creciente: f'(x) > 0 para todo valor de x positivo.
Esta función tiene como máximo 5: podemos ver que f(x) < 5 para todo valor de x positivo.
Observamos que: Encontrar una solución entera a x*x/(x+5) es equivalente a encontrar una solución entera de f(x)
Las soluciones enteras de f(x) sólo pueden tomar 4 valores: 1,2,3,4
Sabiendo que f(x) es creciente, vemos (usando por ejemplo una hoja de cálculo) que la unica de estas condiciones que se cumple es cuando x = 20. En este caso f(x) = 4.
Por tanto, si n (o x) es igual a 20, el número de coches tiene que ser 20*20 = (20+5) * (20*20) / (20+5) = 25 * 16 = 400.
http://www.elpais.com/videos/sociedad/exhibicion/coches/carreras/elpepusoc/20110601elpepusoc_1/Ves/
La solució publicada a la Web és aquesta:
http://www.elpais.com/articulo/sociedad/cuadrado/coches/lado/elpepusoc/20110608elpepusoc_1/Tes
.
.
.
La solució que vam enviar és aquesta:
Van a participar 400 coches.
Explicación
===========
El número de coches totales es n*n.
Un rectángulo con el mismo número de coches que el cuadrado, con el formato pedido va a tener
n+5 filas
y
n*n / (n+5) columnas
El problema consiste en buscar, si existe, un valor de n tal que n*n / (n+5) sea entero y ver si este valor es único.
Un modo de verlo es el siguiente:
Definamos la función f(x) = x - x*x/(x+5)
Esta función es creciente: f'(x) > 0 para todo valor de x positivo.
Esta función tiene como máximo 5: podemos ver que f(x) < 5 para todo valor de x positivo.
Observamos que: Encontrar una solución entera a x*x/(x+5) es equivalente a encontrar una solución entera de f(x)
Las soluciones enteras de f(x) sólo pueden tomar 4 valores: 1,2,3,4
Sabiendo que f(x) es creciente, vemos (usando por ejemplo una hoja de cálculo) que la unica de estas condiciones que se cumple es cuando x = 20. En este caso f(x) = 4.
Por tanto, si n (o x) es igual a 20, el número de coches tiene que ser 20*20 = (20+5) * (20*20) / (20+5) = 25 * 16 = 400.
11 - Pesant cargols
L'onzè phttp://www.blogger.com/img/blank.gifroblema era el següent:
http://www.elpais.com/videos/sociedad/Pesando/tornillos/elpepusoc/20110526elpepusoc_1/Ves/
La solució publicada a la web es troba aquí:
http://www.elpais.com/articulo/sociedad/Basta/sola/pesada/tornillos/elpepusoc/20110531elpepusoc_19/Tes
.
.
.
La solució que vam enviar és aquesta:
Con una pesada basta.
Explicación
===========
Vamos a dar un modo de obtenerlo con una pesada. Como es el mínimo posible, no hará falta demostrar nada más.
Existen C(6,3) = 20 posibilidades distintas de distribución de las cajas que contienen los tornillos de 6 gramos:
Que estén en las cajas:
01. 1,2,3
02. 1,2,4
03. 1,2,5
04. 1,2,6
05. 1,3,4
06. 1,3,5
07. 1,3,6
08. 1,4,5
09. 1,4,6
10. 1,5,6
11. 2,3,4
12. 2,3,5
13. 2,3,6
14. 2,4,5
15. 2,4,6
16. 2,5,6
17. 3,4,5
18. 3,4,6
19. 3,5,6
20. 4,5,6
Si ponemos:
- 0 tornillos de la 1a caja
- 1 tornillo de la 2a caja
- 2 tornillos de la 3a caja
- 4 tornillos de la 4a caja
- 7 tornillos de la 5a caja
- 13 tornillos de la 6a caja
Vemos que el peso que dará la báscula en cada una de las veinte posibilidades será distinta, lo que nos permitirá identificar exactamente qué combinación es la buena.
01. 1,2,3 - Peso = 138 gramos
02. 1,2,4 - Peso = 140 gramos
03. 1,2,5 - Peso = 143 gramos
04. 1,2,6 - Peso = 149 gramos
05. 1,3,4 - Peso = 141 gramos
06. 1,3,5 - Peso = 144 gramos
07. 1,3,6 - Peso = 150 gramos
08. 1,4,5 - Peso = 146 gramos
09. 1,4,6 - Peso = 152 gramos
10. 1,5,6 - Peso = 155 gramos
11. 2,3,4 - Peso = 142 gramos
12. 2,3,5 - Peso = 145 gramos
13. 2,3,6 - Peso = 151 gramos
14. 2,4,5 - Peso = 147 gramos
15. 2,4,6 - Peso = 153 gramos
16. 2,5,6 - Peso = 156 gramos
17. 3,4,5 - Peso = 148 gramos
18. 3,4,6 - Peso = 154 gramos
19. 3,5,6 - Peso = 157 gramos
20. 4,5,6 - Peso = 169 gramos
http://www.elpais.com/videos/sociedad/Pesando/tornillos/elpepusoc/20110526elpepusoc_1/Ves/
La solució publicada a la web es troba aquí:
http://www.elpais.com/articulo/sociedad/Basta/sola/pesada/tornillos/elpepusoc/20110531elpepusoc_19/Tes
.
.
.
La solució que vam enviar és aquesta:
Con una pesada basta.
Explicación
===========
Vamos a dar un modo de obtenerlo con una pesada. Como es el mínimo posible, no hará falta demostrar nada más.
Existen C(6,3) = 20 posibilidades distintas de distribución de las cajas que contienen los tornillos de 6 gramos:
Que estén en las cajas:
01. 1,2,3
02. 1,2,4
03. 1,2,5
04. 1,2,6
05. 1,3,4
06. 1,3,5
07. 1,3,6
08. 1,4,5
09. 1,4,6
10. 1,5,6
11. 2,3,4
12. 2,3,5
13. 2,3,6
14. 2,4,5
15. 2,4,6
16. 2,5,6
17. 3,4,5
18. 3,4,6
19. 3,5,6
20. 4,5,6
Si ponemos:
- 0 tornillos de la 1a caja
- 1 tornillo de la 2a caja
- 2 tornillos de la 3a caja
- 4 tornillos de la 4a caja
- 7 tornillos de la 5a caja
- 13 tornillos de la 6a caja
Vemos que el peso que dará la báscula en cada una de las veinte posibilidades será distinta, lo que nos permitirá identificar exactamente qué combinación es la buena.
01. 1,2,3 - Peso = 138 gramos
02. 1,2,4 - Peso = 140 gramos
03. 1,2,5 - Peso = 143 gramos
04. 1,2,6 - Peso = 149 gramos
05. 1,3,4 - Peso = 141 gramos
06. 1,3,5 - Peso = 144 gramos
07. 1,3,6 - Peso = 150 gramos
08. 1,4,5 - Peso = 146 gramos
09. 1,4,6 - Peso = 152 gramos
10. 1,5,6 - Peso = 155 gramos
11. 2,3,4 - Peso = 142 gramos
12. 2,3,5 - Peso = 145 gramos
13. 2,3,6 - Peso = 151 gramos
14. 2,4,5 - Peso = 147 gramos
15. 2,4,6 - Peso = 153 gramos
16. 2,5,6 - Peso = 156 gramos
17. 3,4,5 - Peso = 148 gramos
18. 3,4,6 - Peso = 154 gramos
19. 3,5,6 - Peso = 157 gramos
20. 4,5,6 - Peso = 169 gramos
10 - Com omplir amb peces un tauler
L'enunciat del desè problema era el següent:
http://www.elpais.com/articulo/sociedad/tablero/cubierto/piezas/elpepusoc/20110525elpepusoc_13/Tes
Aquest problema no el vam poder solucionar satisfactòriament. Us recomanem que llegiu la solució exposada a la pàgina web.
http://www.elpais.com/articulo/sociedad/tablero/cubierto/piezas/elpepusoc/20110525elpepusoc_13/Tes
Aquest problema no el vam poder solucionar satisfactòriament. Us recomanem que llegiu la solució exposada a la pàgina web.
dilluns, 23 de maig del 2011
9 - Una enorme potència de 2
L'enunciat del novè problema el podeu veure aquí:
http://www.elpais.com/videos/sociedad/enorme/potencia/elpepusoc/20110512elpepusoc_2/Ves/
.
.
.
I la solució que vam enviar és la següent.
.
.
.
Las dos últimas cifras del número buscado son 52.
Explicación
===========
Si analizamos las dos últimas cifras de la sucesión de potencias de 2, vemos que se repiten cada 20 dígitos (con una sola excepción, al principio tenemos 2^1 = 2, con lo que las últimas dos cifras son 02, mientras que en los números 2^21, 2^41, etc las dos últimas cifras son 52).
Exponente Dos últimas cifras
1 2
2 4
3 8
4 16
5 32
6 64
7 28
8 56
9 12
10 24
11 48
12 96
13 92
14 84
15 68
16 36
17 72
18 44
19 88
20 76
21 52
22 4
23 8
24 16
25 32
26 64
27 28
28 56
...
Por tanto, las dos últimas cifras del número buscado 2^528*****7301 son las mismas que las del número 2^7301, que son las mismas que las del número 2^21, es decir, 52.
http://www.elpais.com/videos/sociedad/enorme/potencia/elpepusoc/20110512elpepusoc_2/Ves/
.
.
.
I la solució que vam enviar és la següent.
.
.
.
Las dos últimas cifras del número buscado son 52.
Explicación
===========
Si analizamos las dos últimas cifras de la sucesión de potencias de 2, vemos que se repiten cada 20 dígitos (con una sola excepción, al principio tenemos 2^1 = 2, con lo que las últimas dos cifras son 02, mientras que en los números 2^21, 2^41, etc las dos últimas cifras son 52).
Exponente Dos últimas cifras
1 2
2 4
3 8
4 16
5 32
6 64
7 28
8 56
9 12
10 24
11 48
12 96
13 92
14 84
15 68
16 36
17 72
18 44
19 88
20 76
21 52
22 4
23 8
24 16
25 32
26 64
27 28
28 56
...
Por tanto, las dos últimas cifras del número buscado 2^528*****7301 son las mismas que las del número 2^7301, que son las mismas que las del número 2^21, es decir, 52.
divendres, 13 de maig del 2011
8 - Un cub de suma zero
L'enunciat del vuitè problema del concurs d'El País el podeu veure aquí:
http://www.elpais.com/articulo/sociedad/cubo/suma/cero/existe/elpepusoc/20110511elpepusoc_14/Tes
i la resposta que vam enviar la teniu a continuació.
.
.
.
No se puede construir el cubo pedido.
Lo vemos con una observación inicial y razonando a partir de ella.
Observación
===========
Al cambiar el valor de un vértice de 1 a -1 o viceversa, la diferencia entre la cantidad de vértices y caras con valor 1 antes y después es siempre par: -4, -2, 0, 2 o 4.
Es sencillo ver esto. El cambio de un vértice afecta al vértice en cuestión y a tres caras del cubo, las adyacenetes al vértice. Todos los casos posibles son los siguientes:
- Si las tres caras y el vértice tenían valor -1, al cambiar el vértice la diferencia aumenta en 4 unidades.
- Si las tres caras tenían valor -1 y el vértice 1, al cambiar el vértice la diferencia aumenta en 2 unidades.
- Si dos caras tenían valor -1 y el vértice también, al cambiar el vértice la diferencia aumenta en 2 unidades.
- Si dos caras tenían valor -1 y el vértice 1, al cambiar el vértice la diferencia se mantiene igual.
- Si dos caras tenían valor 1 y el vértice -1, al cambiar el vértice la diferencia se mantiene igual.
- Si dos caras tenían valor 1 y el vértice 1, al cambiar el vértice la diferencia disminuye en 2 unidades.
- Si las tres caras tenían valor 1 y el vértice -1, al cambiar el vértice la diferencia dismunuye en 2 unidades.
- Si las tres caras y el vértice tenían valor 1, al cambiar de signo el vértice la diferencia disminuye en 4 unidades.
Visto esto, vemos también que
1. Dada una asignación de 1's y -1's a los vértices, la suma es única.
2. Partiendo de la posición con 1's en todos los vértices, y por tanto suma 8 + 6 = 14, podemos obtener cualquier asignación posible cambiando 1's por -1's.
3. Cualquier asignación válida será de estas, ya que si no realizando cambios hasta llegar a la configuración con 1's en todos los vértices llegaríamos a una contradicción.
4. Por tanto, por la observación inicial, toda asignación válida tiene un número par de elementos con valor 1.
La posición que se pide, en que la suma total es 0, corresponde a que 7 elementos entre caras y vértices tomen por valor 1.
Pero esto no puede ser ya que todas las posiciones válidas tienen un número par de elementos con valor 1.
Por tanto, no se puede construir el cubo pedido.
http://www.elpais.com/articulo/sociedad/cubo/suma/cero/existe/elpepusoc/20110511elpepusoc_14/Tes
i la resposta que vam enviar la teniu a continuació.
.
.
.
No se puede construir el cubo pedido.
Lo vemos con una observación inicial y razonando a partir de ella.
Observación
===========
Al cambiar el valor de un vértice de 1 a -1 o viceversa, la diferencia entre la cantidad de vértices y caras con valor 1 antes y después es siempre par: -4, -2, 0, 2 o 4.
Es sencillo ver esto. El cambio de un vértice afecta al vértice en cuestión y a tres caras del cubo, las adyacenetes al vértice. Todos los casos posibles son los siguientes:
- Si las tres caras y el vértice tenían valor -1, al cambiar el vértice la diferencia aumenta en 4 unidades.
- Si las tres caras tenían valor -1 y el vértice 1, al cambiar el vértice la diferencia aumenta en 2 unidades.
- Si dos caras tenían valor -1 y el vértice también, al cambiar el vértice la diferencia aumenta en 2 unidades.
- Si dos caras tenían valor -1 y el vértice 1, al cambiar el vértice la diferencia se mantiene igual.
- Si dos caras tenían valor 1 y el vértice -1, al cambiar el vértice la diferencia se mantiene igual.
- Si dos caras tenían valor 1 y el vértice 1, al cambiar el vértice la diferencia disminuye en 2 unidades.
- Si las tres caras tenían valor 1 y el vértice -1, al cambiar el vértice la diferencia dismunuye en 2 unidades.
- Si las tres caras y el vértice tenían valor 1, al cambiar de signo el vértice la diferencia disminuye en 4 unidades.
Visto esto, vemos también que
1. Dada una asignación de 1's y -1's a los vértices, la suma es única.
2. Partiendo de la posición con 1's en todos los vértices, y por tanto suma 8 + 6 = 14, podemos obtener cualquier asignación posible cambiando 1's por -1's.
3. Cualquier asignación válida será de estas, ya que si no realizando cambios hasta llegar a la configuración con 1's en todos los vértices llegaríamos a una contradicción.
4. Por tanto, por la observación inicial, toda asignación válida tiene un número par de elementos con valor 1.
La posición que se pide, en que la suma total es 0, corresponde a que 7 elementos entre caras y vértices tomen por valor 1.
Pero esto no puede ser ya que todas las posiciones válidas tienen un número par de elementos con valor 1.
Por tanto, no se puede construir el cubo pedido.
dimarts, 3 de maig del 2011
7 - Un piano musical
El setè problema de la saga anava sobre les tecles d'un piano musical:
http://www.elpais.com/articulo/sociedad/Solucion/problema/piano/sorpresa/musical/elpepusoc/20110503elpepusoc_7/Tes
Us recomanem visitar aquesta pàgina, on el problema i les solucions proposades estan molt ben explicades.
La solució que vam enviar és la següent:
1) Se habrán pulsado 2000 Do's.
2) Las notas Mi, Sol y La no se pulsan nunca.
Explicación
===========
En todo el proceso sólo se tocan cuatro notas diferentes:
- Do
- Re
- Fa
- Si
Si identificamos a:
- Do como el conjunto de números congruentes con 1 módulo 7
- Re como el conjunto de números congruentes con 2 módulo 7
- Fa como el conjunto de números congruentes con 4 módulo 7
- Si como el conjunto de números congruentes con 0 módulo 7
Vemos que sólo se tocan estas notas ya que el procedimiento que se aplica tiene un ciclo que se va repitiendo. Este ciclo de notas que se pulsan es el siguiente (denotamos con = el signo de congruencia módulo siete):
- 1
- 1 + 1 = 2
- 2 + 2 = 4
- 4 + 3 = 7 = 0
- 0 + 4 = 4
- 4 + 5 = 9 = 2
- 2 + 6 = 8 = 1
- 1 + 7 = 1 + 0 = 1
- 1 + 8 = 1 + 1 = 2
- 2 + 9 = 2 + 2 = 4
...
Vemos que la secuencia que se va repitiendo es:
1240421124042112404211...,
que corresponde a las notas
Do Re Fa Si Fa Re Do Do Re Fa Si Fa Re Do Do...
También vemos que de cada 7 teclas pulsadas dos son Do's. Por tanto, si se pulsan 7000 teclas se habrán pulsado 2000 Do's.
En resumen:
1) Si se pulsan 7000 teclas se habrán pulsado 2000 Do's.
2) Las notas Mi, Sol y La no se pulsan nunca.
http://www.elpais.com/articulo/sociedad/Solucion/problema/piano/sorpresa/musical/elpepusoc/20110503elpepusoc_7/Tes
Us recomanem visitar aquesta pàgina, on el problema i les solucions proposades estan molt ben explicades.
La solució que vam enviar és la següent:
1) Se habrán pulsado 2000 Do's.
2) Las notas Mi, Sol y La no se pulsan nunca.
Explicación
===========
En todo el proceso sólo se tocan cuatro notas diferentes:
- Do
- Re
- Fa
- Si
Si identificamos a:
- Do como el conjunto de números congruentes con 1 módulo 7
- Re como el conjunto de números congruentes con 2 módulo 7
- Fa como el conjunto de números congruentes con 4 módulo 7
- Si como el conjunto de números congruentes con 0 módulo 7
Vemos que sólo se tocan estas notas ya que el procedimiento que se aplica tiene un ciclo que se va repitiendo. Este ciclo de notas que se pulsan es el siguiente (denotamos con = el signo de congruencia módulo siete):
- 1
- 1 + 1 = 2
- 2 + 2 = 4
- 4 + 3 = 7 = 0
- 0 + 4 = 4
- 4 + 5 = 9 = 2
- 2 + 6 = 8 = 1
- 1 + 7 = 1 + 0 = 1
- 1 + 8 = 1 + 1 = 2
- 2 + 9 = 2 + 2 = 4
...
Vemos que la secuencia que se va repitiendo es:
1240421124042112404211...,
que corresponde a las notas
Do Re Fa Si Fa Re Do Do Re Fa Si Fa Re Do Do...
También vemos que de cada 7 teclas pulsadas dos son Do's. Por tanto, si se pulsan 7000 teclas se habrán pulsado 2000 Do's.
En resumen:
1) Si se pulsan 7000 teclas se habrán pulsado 2000 Do's.
2) Las notas Mi, Sol y La no se pulsan nunca.
Subscriure's a:
Comentaris (Atom)